一、前言
【壓縮機網(wǎng)】螺桿式壓縮機由于其可靠性高、結構簡(jiǎn)單方便維護保養等突出優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應用于制冷空調、氣動(dòng)工具、工藝化工等國民生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域。一對相互嚙合的陰陽(yáng)轉子作為螺桿式壓縮機的核心部件，對壓縮機的安全運轉和工作性能起著(zhù)決定性作用。型線(xiàn)設計技術(shù)的不斷進(jìn)步是推動(dòng)螺桿式壓縮機迅速占領(lǐng)市場(chǎng)主流的根本原因。因而型線(xiàn)設計也一直是國內外研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，得益于對嚙合理論的深入研究以及計算科學(xué)的飛速發(fā)展，各種新型型線(xiàn)被接踵推出。
二、轉子型線(xiàn)設計方法
2.1 轉子坐標系及坐標變換法則
如圖1所示，陰陽(yáng)轉子的靜坐標系X2OY2、X1OY1固結于機殼轉子孔中心位置，稱(chēng)為機架坐標系；陰陽(yáng)轉子的動(dòng)坐標系x2Oy2、x1Oy1固結于陰陽(yáng)轉子中心，并隨轉子一起繞轉子軸線(xiàn)轉動(dòng)。定義陽(yáng)轉子順時(shí)針為正向，陰轉子逆時(shí)針為正向。
螺桿式壓縮機的嚙合屬于平行軸定傳動(dòng)比嚙合，如圖1，位于陽(yáng)轉子上的曲線(xiàn)1在位置與陰轉子齒上的曲線(xiàn)2相嚙合。通常，型線(xiàn)設計的任務(wù)是在曲線(xiàn)1（或曲線(xiàn)2）已知的情況下求取曲線(xiàn)2（或曲線(xiàn)1），這一過(guò)程即坐標變換過(guò)程。
在圖1所示的坐系下，由陰轉子動(dòng)坐標(x2,y2)向陽(yáng)轉子動(dòng)坐標(x1,y1)的坐標變換為：
由陽(yáng)轉子動(dòng)坐標向陰轉子動(dòng)坐標的坐標變換關(guān)系表示為：
同理，動(dòng)坐標與靜坐標、靜坐標與靜坐標間的變換關(guān)系為：
2.2解析包絡(luò )法
若已知型線(xiàn)的參數方程表示為，其中t為型線(xiàn)參數，當t取一定值則表示曲線(xiàn)上的一固定點(diǎn)，即指出了曲線(xiàn)上具體何點(diǎn)發(fā)生嚙合；在運用式2-1或式2-2進(jìn)行坐標變換時(shí)包含未知轉角參數，的物理意義是指出了曲線(xiàn)在何位置發(fā)生嚙合，也叫位置參數，因而由（t, ）兩個(gè)參數便可具體指出已知曲線(xiàn)上何點(diǎn)何時(shí)在何位置發(fā)生嚙合，型線(xiàn)嚙合的問(wèn)題關(guān)鍵也轉化為如何建立起t和 之間的一一映射關(guān)系。
如圖1所示，曲線(xiàn)1、2互相包絡(luò )，根據包絡(luò )原理，在公切點(diǎn)存在公切線(xiàn)和公法線(xiàn)，則在公切點(diǎn)處建立曲線(xiàn)關(guān)于的偏微分方程和關(guān)于t/的全微分方程。由于是公切點(diǎn)，兩方程必然相等，從而建立起了t和的關(guān)系表達式，見(jiàn)式2-5和式2-6。具體推導在文獻1中有詳細介紹，對其過(guò)程本文不再贅述。
式2-5和式2-6可采用隱函數表示，稱(chēng)其為共軛曲線(xiàn)的包絡(luò )補充條件：
將此隱函數表達式1與坐標變換式2-1或式2-2聯(lián)立即可求出已知型線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)方程。
2.3齒廓法線(xiàn)法
齒廓嚙合Wills定理是齒廓法線(xiàn)法的理論依據，其完整表述為：共軛齒廓在傳動(dòng)的任意瞬時(shí)，它們在接觸點(diǎn)處的公法線(xiàn)必然通過(guò)該瞬時(shí)的瞬心點(diǎn)P，且P點(diǎn)位于聯(lián)心線(xiàn)O1O2上。顯然，對于定傳定比的平行軸嚙合問(wèn)題，其瞬時(shí)瞬心點(diǎn)的軌跡即為兩根轉子互相外切的兩個(gè)節圓，其半徑分別為R1t、R2t。據此描述則在已知的曲線(xiàn)的坐標系下可方便快捷的建立起轉角位置參數和型線(xiàn)參數t之間的一一映射關(guān)系。
式2-9、式2-10中，Nx,Ny為已知曲線(xiàn)的法向量在x、y方向的分量。
同樣，將坐標變換2-1或2-2與式2-9或式2-10聯(lián)立即可求得共軛的型線(xiàn)方程。
三、螺桿型線(xiàn)基本組成齒曲線(xiàn)及其包絡(luò )線(xiàn)
3.1 圓弧—圓弧包絡(luò )線(xiàn)嚙合副
圓弧—圓弧包絡(luò )線(xiàn)貫穿了整個(gè)螺桿轉子型線(xiàn)的發(fā)展過(guò)程，是應用最廣泛、最常見(jiàn)的一種基本齒曲線(xiàn)。采用圓弧—圓弧包絡(luò )線(xiàn)設計的轉子具有齒面光滑，易于加工、存儲和運輸的優(yōu)點(diǎn)，因而被大量應用于各種對稱(chēng)、不對稱(chēng)型線(xiàn)的設計中。
位于陽(yáng)轉子上、圓心在(x0，y0)處的圓弧可表示為：
其中：r——圓弧半徑
——圓弧端點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)與x軸正向夾角
將式3-1與坐標變換關(guān)系式2-2中，得其包絡(luò )線(xiàn)方程為：
采用解析包絡(luò )法，將上式分別對t和求偏導并代入式2-6的包絡(luò )條件，解得包絡(luò )條件表達式為：
因而陽(yáng)轉子上圓心在(x0,y0)處的一段圓弧其包絡(luò )線(xiàn)方程可通過(guò)將式3-2與式3-3聯(lián)立來(lái)表示：
對于銷(xiāo)齒圓弧， 
將代入式3-3可得包絡(luò )條件為：
=0，這表明銷(xiāo)齒圓弧在起始位置嚙合，且是整段曲線(xiàn)同時(shí)進(jìn)入嚙合，這是圓弧包絡(luò )的一種特殊情況。
同理，對于位于陰轉子上、圓心在(x0,y0) 處的一段圓弧及其包絡(luò )線(xiàn)的方程可表示為：
3.2 徑向直線(xiàn)-擺線(xiàn)嚙合副
在型線(xiàn)發(fā)展的早期階段，出于加工、存儲方面的考慮，同時(shí)為保護位于齒頂部位、對機器性能起重要影響的擺線(xiàn)形成點(diǎn)，設計者們在陰轉子節圓附近添加了一段徑向直線(xiàn)，其典型代表如瑞典SRM公司開(kāi)發(fā)的SRM-A型線(xiàn)。
對于陰轉子上的一段徑向直線(xiàn)，其方程見(jiàn)式3-7所示：
式3-7中表示直線(xiàn)與x軸正向的夾角，將其代入動(dòng)坐標變換關(guān)系式2-1可得：
采用解析包絡(luò )法，將式3-8分別對t和求偏導數并代入式2-5的包絡(luò )條件，解得包絡(luò )條件表達式為：
則陰轉子上徑向直線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)方程表示為：
仔細觀(guān)察上式的特征發(fā)現，徑向直線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)是一段擺線(xiàn)，即形成“直線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合副。
3.3 點(diǎn)—擺線(xiàn)嚙合副
點(diǎn)擺線(xiàn)嚙合副的提出促進(jìn)了非對稱(chēng)型線(xiàn)的發(fā)展，采用點(diǎn)—擺線(xiàn)組合可將嚙合線(xiàn)嚙合頂點(diǎn)延伸至兩轉子孔交線(xiàn)的頂點(diǎn)，從而有效的降低甚至消除泄漏三角形的影響，提高壓縮機性能。
位于陰轉子上一定點(diǎn)的方程為：
其中為該點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)與x軸的夾角，類(lèi)比徑向直線(xiàn)的方程解法，直接可解出其包絡(luò )線(xiàn)方程為：
方程式3-12自然滿(mǎn)足了嚙合條件式2-5，由三角形的三邊關(guān)系可得：
其中表示包絡(luò )線(xiàn)上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的線(xiàn)段長(cháng)度，取值范圍由相鄰曲線(xiàn)的端點(diǎn)或幾何關(guān)系確定，從而點(diǎn)的包絡(luò )線(xiàn)方程可完整表示為：
觀(guān)察式3-14的特征可知，點(diǎn)包絡(luò )線(xiàn)方程表征的也是一段擺線(xiàn)，即形成了“點(diǎn)—擺線(xiàn)”嚙合副；
采用同樣的方法可得陽(yáng)轉子一固定點(diǎn)的方程及其包絡(luò )線(xiàn)方程：
3.5 擺線(xiàn)-擺線(xiàn)嚙合副
擺線(xiàn)又稱(chēng)為旋輪線(xiàn)，物理上是最速降問(wèn)題的解，也是螺桿壓縮機轉子型線(xiàn)的基本齒曲線(xiàn)之一，常見(jiàn)的組合方式包括“點(diǎn)—擺線(xiàn)”、“線(xiàn)—擺線(xiàn)”、“擺線(xiàn)—擺線(xiàn)”。
對于平行軸嚙合問(wèn)題，圓外一段外擺線(xiàn)方程見(jiàn)式3-17，它表示這樣一種曲線(xiàn)：半徑為r的圓在基圓上作純滾動(dòng)，將半徑為r的圓稱(chēng)為滾圓，離圓心距離為b的圓上一個(gè)固定點(diǎn)在滾動(dòng)過(guò)程中形成的曲線(xiàn)稱(chēng)為外擺線(xiàn)。幾何關(guān)系見(jiàn)圖4所示。
將式代入坐標變換式2-1可得陽(yáng)轉子上外擺線(xiàn)的嚙合線(xiàn)方程為：
嚙合線(xiàn)方程為：
由式3-18、式3-19的特征可見(jiàn)，外擺線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)為內擺線(xiàn)，是同一滾圓、同一點(diǎn)在節圓2的內圓周上滾出來(lái)的；擺線(xiàn)的嚙合線(xiàn)為一圓心在滾圓中心，經(jīng)過(guò)形成點(diǎn)K、半徑為b的圓。
特別當A=a，即滾圓中心與陰轉子中心重合時(shí)得：
即此時(shí)“擺線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合關(guān)系退化為“點(diǎn)—擺線(xiàn)”嚙合；
當A-a=r=b時(shí)，式3-18可化簡(jiǎn)為：
它表示一段徑向直線(xiàn)，即此時(shí)“擺線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合關(guān)系退化為“線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合；式3-20和式3-21表明“線(xiàn)—擺線(xiàn)”、“點(diǎn)—擺線(xiàn)”嚙合是擺線(xiàn)嚙合副的特殊形式。
3.6 橢圓-橢圓包絡(luò )線(xiàn)嚙合副
橢圓作為一種二次曲線(xiàn)，是近些年才應用于流線(xiàn)型等高效型線(xiàn)的設計當中，代表型線(xiàn)有GHH型線(xiàn)、復盛型線(xiàn)等。
在圖1所示的坐標系下，陰轉子上與x軸正向夾角為t0、圓心為(x0,y0)、長(cháng)半軸短半軸為(a,b)一段橢圓方程可表示為：
將式代入坐標變換關(guān)系式得包絡(luò )線(xiàn)方程：
由于橢圓包絡(luò )線(xiàn)的方程形式復雜，采用解析包絡(luò )法過(guò)于繁瑣，此處采用齒廓法線(xiàn)法，其包絡(luò )條件可表示為：
式3-24中（Nx2，Ny2）為橢圓弧在t處的法向量。將式3-23和式3-24聯(lián)立即可求出橢圓包絡(luò )線(xiàn)的方程。
四、GHH型線(xiàn)解析推導
GHH型線(xiàn)是一種性能優(yōu)良的流線(xiàn)型型線(xiàn)，由德國GHH公司推出。見(jiàn)圖5所示，GHH型線(xiàn)在齒頂采用點(diǎn)嚙合擺線(xiàn)，盡量減小泄漏三角形面積，從而降低了泄漏損失，組成齒曲線(xiàn)及嚙合線(xiàn)見(jiàn)表1所示。雖然其組成齒曲線(xiàn)已公開(kāi)多年，但仍未見(jiàn)有公開(kāi)資料對其構造進(jìn)行分析。本文以GHH型線(xiàn)為例，闡述了轉子型線(xiàn)的構造方法。
4.1 BD-HJ圓弧-圓弧曲線(xiàn)段
BD段為圓心在兩轉子節圓交點(diǎn)上的銷(xiāo)齒圓弧，半徑為r的銷(xiāo)齒圓弧方程為：
一般取t1=0，即圓弧段至陽(yáng)轉子齒頂結束，銷(xiāo)齒圓弧在=0時(shí)整段嚙合，將式4-1代入式3-2得與BD段相嚙合的曲線(xiàn)段HJ的方程為：
4.2 DE-J點(diǎn)—擺線(xiàn)曲線(xiàn)段
陰轉子上曲線(xiàn)DE是由陽(yáng)轉子齒頂J點(diǎn)生成的擺線(xiàn)，J點(diǎn)方程為：
將方程4-3代入式3-16得DE段擺線(xiàn)方程為：
4.3 E-JK點(diǎn)—擺線(xiàn)曲線(xiàn)段
陰轉子上曲線(xiàn)JK是由陰轉子DE擺線(xiàn)的端點(diǎn)E點(diǎn)生成的擺線(xiàn)，E點(diǎn)方程為：
將方程4-5代入式3-14得JK段擺線(xiàn)方程為：
其中， 為O2E與陰轉子x軸正向的夾角，
4.4 EF-KL圓弧-圓弧曲線(xiàn)段
EF段為圓心在陰轉子節圓上、半徑為r0的小圓?。?br />
其中為圓弧的夾心角，由于EF與曲線(xiàn)段KL嚙合，其對應的嚙合線(xiàn)為一端在陽(yáng)轉子節圓上、另一端在x軸上的一段圓弧51，由三角關(guān)系可確定的取值為：
將式4-7代入到式3-6求得包絡(luò )線(xiàn)KL的方程：
4.5 AB-GH橢圓-橢圓包絡(luò )線(xiàn)曲線(xiàn)段
AB段為位于陰轉子上的一段橢圓，其中心坐標為(x0,y0)，長(cháng)半軸和短半軸分別為(a,b)，四個(gè)參數均為未知數，因而求解此段型線(xiàn)的關(guān)鍵為確定橢圓的位置參數。
AB段橢圓的端點(diǎn)B同時(shí)也是銷(xiāo)齒圓弧的端點(diǎn)，其坐標記為(xB,yB)，由連續性條件判斷在點(diǎn)B處橢圓曲線(xiàn)AB與銷(xiāo)齒圓弧BD有公切線(xiàn)和公法線(xiàn)，B點(diǎn)處的導數記為kB，則B點(diǎn)處切線(xiàn)與x軸的夾角t0為：
AB段橢圓的端點(diǎn)A與齒項圓相切，其坐標記為(xA,yA)，記A點(diǎn)處的導數為kA, A點(diǎn)與x軸正向的夾角為：
通過(guò)以上分析(xB,yB)，(xA,yA)，kA，kB均可由相鄰曲線(xiàn)或幾何關(guān)系求出，將這五個(gè)已知量代入方程3-22可得確定橢圓參數的五元非線(xiàn)性方程組：
解出五元非線(xiàn)性方程組即確定了以(x0，y0，a，b)定義的橢圓。將其代入3-23、3-24即可求解橢圓包絡(luò )線(xiàn)方程。
4.6 GHH型線(xiàn)的具體算例
取GHH型線(xiàn)齒數比為z1:z2=5:6，中心距A=90mm，銷(xiāo)齒圓弧半徑r=25.8%*A =23.22mm，齒頂圓弧r0=1.5mm，銷(xiāo)齒圓弧夾心角 0=0.7854；則可依次求得(xB，yB)=(32.6719,-16.4190)，(xA,yA)=(38.0533， -33.3374)，kB=-1,kA=1.1415,tA=0.7194, t0=-0.7854; 生成的型線(xiàn)如圖5所示，圖2表示陽(yáng)轉子對陰轉子的包絡(luò )過(guò)程，證明嚙合過(guò)程無(wú)干涉現象。
GHH型線(xiàn)的推薦齒數比為5：6，GHH型線(xiàn)也能適應其它齒數比的設計，見(jiàn)圖6所展示的4：6、4：5型線(xiàn)。
五、結論
采用解析包絡(luò )法能使型線(xiàn)求解的數學(xué)邏輯清晰明了，但對于復雜組成齒曲線(xiàn)，解析包絡(luò )法在求解時(shí)往往生成冗長(cháng)繁雜的表達式，使得求解過(guò)程極易出錯；齒廓法線(xiàn)法則具有更明解的物理意義，尤其是在解析包絡(luò )法不便求解的場(chǎng)合，使用齒廓法線(xiàn)法可使得型線(xiàn)設計過(guò)程更直觀(guān)簡(jiǎn)便。但齒廓法線(xiàn)法不適應于齒型參數偏導數為不存在的場(chǎng)合，如“點(diǎn)—擺線(xiàn)”曲線(xiàn)組的設計，因而在型線(xiàn)設計過(guò)程中，可根據需要靈活選擇兩種設計方法。
本文以GHH型線(xiàn)為例，詳細介紹了型線(xiàn)設計的過(guò)程，即對兩種型線(xiàn)設計方法進(jìn)行了驗證，又揭示了GHH型線(xiàn)的設計特點(diǎn)，為后續開(kāi)發(fā)高效型線(xiàn)提供參考。
參考文獻
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一、前言
【壓縮機網(wǎng)】螺桿式壓縮機由于其可靠性高、結構簡(jiǎn)單方便維護保養等突出優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應用于制冷空調、氣動(dòng)工具、工藝化工等國民生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域。一對相互嚙合的陰陽(yáng)轉子作為螺桿式壓縮機的核心部件，對壓縮機的安全運轉和工作性能起著(zhù)決定性作用。型線(xiàn)設計技術(shù)的不斷進(jìn)步是推動(dòng)螺桿式壓縮機迅速占領(lǐng)市場(chǎng)主流的根本原因。因而型線(xiàn)設計也一直是國內外研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，得益于對嚙合理論的深入研究以及計算科學(xué)的飛速發(fā)展，各種新型型線(xiàn)被接踵推出。
二、轉子型線(xiàn)設計方法
2.1 轉子坐標系及坐標變換法則
如圖1所示，陰陽(yáng)轉子的靜坐標系X2OY2、X1OY1固結于機殼轉子孔中心位置，稱(chēng)為機架坐標系；陰陽(yáng)轉子的動(dòng)坐標系x2Oy2、x1Oy1固結于陰陽(yáng)轉子中心，并隨轉子一起繞轉子軸線(xiàn)轉動(dòng)。定義陽(yáng)轉子順時(shí)針為正向，陰轉子逆時(shí)針為正向。
螺桿式壓縮機的嚙合屬于平行軸定傳動(dòng)比嚙合，如圖1，位于陽(yáng)轉子上的曲線(xiàn)1在位置與陰轉子齒上的曲線(xiàn)2相嚙合。通常，型線(xiàn)設計的任務(wù)是在曲線(xiàn)1（或曲線(xiàn)2）已知的情況下求取曲線(xiàn)2（或曲線(xiàn)1），這一過(guò)程即坐標變換過(guò)程。
在圖1所示的坐系下，由陰轉子動(dòng)坐標(x2,y2)向陽(yáng)轉子動(dòng)坐標(x1,y1)的坐標變換為：
由陽(yáng)轉子動(dòng)坐標向陰轉子動(dòng)坐標的坐標變換關(guān)系表示為：
同理，動(dòng)坐標與靜坐標、靜坐標與靜坐標間的變換關(guān)系為：
2.2解析包絡(luò )法
若已知型線(xiàn)的參數方程表示為，其中t為型線(xiàn)參數，當t取一定值則表示曲線(xiàn)上的一固定點(diǎn)，即指出了曲線(xiàn)上具體何點(diǎn)發(fā)生嚙合；在運用式2-1或式2-2進(jìn)行坐標變換時(shí)包含未知轉角參數，的物理意義是指出了曲線(xiàn)在何位置發(fā)生嚙合，也叫位置參數，因而由（t, ）兩個(gè)參數便可具體指出已知曲線(xiàn)上何點(diǎn)何時(shí)在何位置發(fā)生嚙合，型線(xiàn)嚙合的問(wèn)題關(guān)鍵也轉化為如何建立起t和 之間的一一映射關(guān)系。
如圖1所示，曲線(xiàn)1、2互相包絡(luò )，根據包絡(luò )原理，在公切點(diǎn)存在公切線(xiàn)和公法線(xiàn)，則在公切點(diǎn)處建立曲線(xiàn)關(guān)于的偏微分方程和關(guān)于t/的全微分方程。由于是公切點(diǎn)，兩方程必然相等，從而建立起了t和的關(guān)系表達式，見(jiàn)式2-5和式2-6。具體推導在文獻1中有詳細介紹，對其過(guò)程本文不再贅述。
式2-5和式2-6可采用隱函數表示，稱(chēng)其為共軛曲線(xiàn)的包絡(luò )補充條件：
將此隱函數表達式1與坐標變換式2-1或式2-2聯(lián)立即可求出已知型線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)方程。
2.3齒廓法線(xiàn)法
齒廓嚙合Wills定理是齒廓法線(xiàn)法的理論依據，其完整表述為：共軛齒廓在傳動(dòng)的任意瞬時(shí)，它們在接觸點(diǎn)處的公法線(xiàn)必然通過(guò)該瞬時(shí)的瞬心點(diǎn)P，且P點(diǎn)位于聯(lián)心線(xiàn)O1O2上。顯然，對于定傳定比的平行軸嚙合問(wèn)題，其瞬時(shí)瞬心點(diǎn)的軌跡即為兩根轉子互相外切的兩個(gè)節圓，其半徑分別為R1t、R2t。據此描述則在已知的曲線(xiàn)的坐標系下可方便快捷的建立起轉角位置參數和型線(xiàn)參數t之間的一一映射關(guān)系。
式2-9、式2-10中，Nx,Ny為已知曲線(xiàn)的法向量在x、y方向的分量。
同樣，將坐標變換2-1或2-2與式2-9或式2-10聯(lián)立即可求得共軛的型線(xiàn)方程。
三、螺桿型線(xiàn)基本組成齒曲線(xiàn)及其包絡(luò )線(xiàn)
3.1 圓弧—圓弧包絡(luò )線(xiàn)嚙合副
圓弧—圓弧包絡(luò )線(xiàn)貫穿了整個(gè)螺桿轉子型線(xiàn)的發(fā)展過(guò)程，是應用最廣泛、最常見(jiàn)的一種基本齒曲線(xiàn)。采用圓弧—圓弧包絡(luò )線(xiàn)設計的轉子具有齒面光滑，易于加工、存儲和運輸的優(yōu)點(diǎn)，因而被大量應用于各種對稱(chēng)、不對稱(chēng)型線(xiàn)的設計中。
位于陽(yáng)轉子上、圓心在(x0，y0)處的圓弧可表示為：
其中：r——圓弧半徑
——圓弧端點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)與x軸正向夾角
將式3-1與坐標變換關(guān)系式2-2中，得其包絡(luò )線(xiàn)方程為：
采用解析包絡(luò )法，將上式分別對t和求偏導并代入式2-6的包絡(luò )條件，解得包絡(luò )條件表達式為：
因而陽(yáng)轉子上圓心在(x0,y0)處的一段圓弧其包絡(luò )線(xiàn)方程可通過(guò)將式3-2與式3-3聯(lián)立來(lái)表示：
對于銷(xiāo)齒圓弧， 將代入式3-3可得包絡(luò )條件為：=0，這表明銷(xiāo)齒圓弧在起始位置嚙合，且是整段曲線(xiàn)同時(shí)進(jìn)入嚙合，這是圓弧包絡(luò )的一種特殊情況。
同理，對于位于陰轉子上、圓心在(x0,y0) 處的一段圓弧及其包絡(luò )線(xiàn)的方程可表示為：
3.2 徑向直線(xiàn)-擺線(xiàn)嚙合副
在型線(xiàn)發(fā)展的早期階段，出于加工、存儲方面的考慮，同時(shí)為保護位于齒頂部位、對機器性能起重要影響的擺線(xiàn)形成點(diǎn)，設計者們在陰轉子節圓附近添加了一段徑向直線(xiàn)，其典型代表如瑞典SRM公司開(kāi)發(fā)的SRM-A型線(xiàn)。
對于陰轉子上的一段徑向直線(xiàn)，其方程見(jiàn)式3-7所示：
式3-7中表示直線(xiàn)與x軸正向的夾角，將其代入動(dòng)坐標變換關(guān)系式2-1可得：
采用解析包絡(luò )法，將式3-8分別對t和求偏導數并代入式2-5的包絡(luò )條件，解得包絡(luò )條件表達式為：
則陰轉子上徑向直線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)方程表示為：
仔細觀(guān)察上式的特征發(fā)現，徑向直線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)是一段擺線(xiàn)，即形成“直線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合副。
3.3 點(diǎn)—擺線(xiàn)嚙合副
點(diǎn)擺線(xiàn)嚙合副的提出促進(jìn)了非對稱(chēng)型線(xiàn)的發(fā)展，采用點(diǎn)—擺線(xiàn)組合可將嚙合線(xiàn)嚙合頂點(diǎn)延伸至兩轉子孔交線(xiàn)的頂點(diǎn)，從而有效的降低甚至消除泄漏三角形的影響，提高壓縮機性能。
位于陰轉子上一定點(diǎn)的方程為：
其中為該點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)與x軸的夾角，類(lèi)比徑向直線(xiàn)的方程解法，直接可解出其包絡(luò )線(xiàn)方程為：
方程式3-12自然滿(mǎn)足了嚙合條件式2-5，由三角形的三邊關(guān)系可得：
其中表示包絡(luò )線(xiàn)上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的線(xiàn)段長(cháng)度，取值范圍由相鄰曲線(xiàn)的端點(diǎn)或幾何關(guān)系確定，從而點(diǎn)的包絡(luò )線(xiàn)方程可完整表示為：
觀(guān)察式3-14的特征可知，點(diǎn)包絡(luò )線(xiàn)方程表征的也是一段擺線(xiàn)，即形成了“點(diǎn)—擺線(xiàn)”嚙合副；
采用同樣的方法可得陽(yáng)轉子一固定點(diǎn)的方程及其包絡(luò )線(xiàn)方程：
3.5 擺線(xiàn)-擺線(xiàn)嚙合副
擺線(xiàn)又稱(chēng)為旋輪線(xiàn)，物理上是最速降問(wèn)題的解，也是螺桿壓縮機轉子型線(xiàn)的基本齒曲線(xiàn)之一，常見(jiàn)的組合方式包括“點(diǎn)—擺線(xiàn)”、“線(xiàn)—擺線(xiàn)”、“擺線(xiàn)—擺線(xiàn)”。
對于平行軸嚙合問(wèn)題，圓外一段外擺線(xiàn)方程見(jiàn)式3-17，它表示這樣一種曲線(xiàn)：半徑為r的圓在基圓上作純滾動(dòng)，將半徑為r的圓稱(chēng)為滾圓，離圓心距離為b的圓上一個(gè)固定點(diǎn)在滾動(dòng)過(guò)程中形成的曲線(xiàn)稱(chēng)為外擺線(xiàn)。幾何關(guān)系見(jiàn)圖4所示。
將式代入坐標變換式2-1可得陽(yáng)轉子上外擺線(xiàn)的嚙合線(xiàn)方程為：
嚙合線(xiàn)方程為：
由式3-18、式3-19的特征可見(jiàn)，外擺線(xiàn)的包絡(luò )線(xiàn)為內擺線(xiàn)，是同一滾圓、同一點(diǎn)在節圓2的內圓周上滾出來(lái)的；擺線(xiàn)的嚙合線(xiàn)為一圓心在滾圓中心，經(jīng)過(guò)形成點(diǎn)K、半徑為b的圓。
特別當A=a，即滾圓中心與陰轉子中心重合時(shí)得：
即此時(shí)“擺線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合關(guān)系退化為“點(diǎn)—擺線(xiàn)”嚙合；
當A-a=r=b時(shí)，式3-18可化簡(jiǎn)為：
它表示一段徑向直線(xiàn)，即此時(shí)“擺線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合關(guān)系退化為“線(xiàn)—擺線(xiàn)”嚙合；式3-20和式3-21表明“線(xiàn)—擺線(xiàn)”、“點(diǎn)—擺線(xiàn)”嚙合是擺線(xiàn)嚙合副的特殊形式。
3.6 橢圓-橢圓包絡(luò )線(xiàn)嚙合副
橢圓作為一種二次曲線(xiàn)，是近些年才應用于流線(xiàn)型等高效型線(xiàn)的設計當中，代表型線(xiàn)有GHH型線(xiàn)、復盛型線(xiàn)等。
在圖1所示的坐標系下，陰轉子上與x軸正向夾角為t0、圓心為(x0,y0)、長(cháng)半軸短半軸為(a,b)一段橢圓方程可表示為：
將式代入坐標變換關(guān)系式得包絡(luò )線(xiàn)方程：
由于橢圓包絡(luò )線(xiàn)的方程形式復雜，采用解析包絡(luò )法過(guò)于繁瑣，此處采用齒廓法線(xiàn)法，其包絡(luò )條件可表示為：
式3-24中（Nx2，Ny2）為橢圓弧在t處的法向量。將式3-23和式3-24聯(lián)立即可求出橢圓包絡(luò )線(xiàn)的方程。
四、GHH型線(xiàn)解析推導
GHH型線(xiàn)是一種性能優(yōu)良的流線(xiàn)型型線(xiàn)，由德國GHH公司推出。見(jiàn)圖5所示，GHH型線(xiàn)在齒頂采用點(diǎn)嚙合擺線(xiàn)，盡量減小泄漏三角形面積，從而降低了泄漏損失，組成齒曲線(xiàn)及嚙合線(xiàn)見(jiàn)表1所示。雖然其組成齒曲線(xiàn)已公開(kāi)多年，但仍未見(jiàn)有公開(kāi)資料對其構造進(jìn)行分析。本文以GHH型線(xiàn)為例，闡述了轉子型線(xiàn)的構造方法。
4.1 BD-HJ圓弧-圓弧曲線(xiàn)段
BD段為圓心在兩轉子節圓交點(diǎn)上的銷(xiāo)齒圓弧，半徑為r的銷(xiāo)齒圓弧方程為：
一般取t1=0，即圓弧段至陽(yáng)轉子齒頂結束，銷(xiāo)齒圓弧在=0時(shí)整段嚙合，將式4-1代入式3-2得與BD段相嚙合的曲線(xiàn)段HJ的方程為：
4.2 DE-J點(diǎn)—擺線(xiàn)曲線(xiàn)段
陰轉子上曲線(xiàn)DE是由陽(yáng)轉子齒頂J點(diǎn)生成的擺線(xiàn)，J點(diǎn)方程為：
將方程4-3代入式3-16得DE段擺線(xiàn)方程為：
4.3 E-JK點(diǎn)—擺線(xiàn)曲線(xiàn)段
陰轉子上曲線(xiàn)JK是由陰轉子DE擺線(xiàn)的端點(diǎn)E點(diǎn)生成的擺線(xiàn)，E點(diǎn)方程為：
將方程4-5代入式3-14得JK段擺線(xiàn)方程為：
其中， 為O2E與陰轉子x軸正向的夾角，
4.4 EF-KL圓弧-圓弧曲線(xiàn)段
EF段為圓心在陰轉子節圓上、半徑為r0的小圓?。?br />
其中為圓弧的夾心角，由于EF與曲線(xiàn)段KL嚙合，其對應的嚙合線(xiàn)為一端在陽(yáng)轉子節圓上、另一端在x軸上的一段圓弧51，由三角關(guān)系可確定的取值為：
將式4-7代入到式3-6求得包絡(luò )線(xiàn)KL的方程：
4.5 AB-GH橢圓-橢圓包絡(luò )線(xiàn)曲線(xiàn)段
AB段為位于陰轉子上的一段橢圓，其中心坐標為(x0,y0)，長(cháng)半軸和短半軸分別為(a,b)，四個(gè)參數均為未知數，因而求解此段型線(xiàn)的關(guān)鍵為確定橢圓的位置參數。
AB段橢圓的端點(diǎn)B同時(shí)也是銷(xiāo)齒圓弧的端點(diǎn)，其坐標記為(xB,yB)，由連續性條件判斷在點(diǎn)B處橢圓曲線(xiàn)AB與銷(xiāo)齒圓弧BD有公切線(xiàn)和公法線(xiàn)，B點(diǎn)處的導數記為kB，則B點(diǎn)處切線(xiàn)與x軸的夾角t0為：
AB段橢圓的端點(diǎn)A與齒項圓相切，其坐標記為(xA,yA)，記A點(diǎn)處的導數為kA, A點(diǎn)與x軸正向的夾角為：
通過(guò)以上分析(xB,yB)，(xA,yA)，kA，kB均可由相鄰曲線(xiàn)或幾何關(guān)系求出，將這五個(gè)已知量代入方程3-22可得確定橢圓參數的五元非線(xiàn)性方程組：
解出五元非線(xiàn)性方程組即確定了以(x0，y0，a，b)定義的橢圓。將其代入3-23、3-24即可求解橢圓包絡(luò )線(xiàn)方程。
4.6 GHH型線(xiàn)的具體算例
取GHH型線(xiàn)齒數比為z1:z2=5:6，中心距A=90mm，銷(xiāo)齒圓弧半徑r=25.8%*A =23.22mm，齒頂圓弧r0=1.5mm，銷(xiāo)齒圓弧夾心角 0=0.7854；則可依次求得(xB，yB)=(32.6719,-16.4190)，(xA,yA)=(38.0533， -33.3374)，kB=-1,kA=1.1415,tA=0.7194, t0=-0.7854; 生成的型線(xiàn)如圖5所示，圖2表示陽(yáng)轉子對陰轉子的包絡(luò )過(guò)程，證明嚙合過(guò)程無(wú)干涉現象。
GHH型線(xiàn)的推薦齒數比為5：6，GHH型線(xiàn)也能適應其它齒數比的設計，見(jiàn)圖6所展示的4：6、4：5型線(xiàn)。
五、結論
采用解析包絡(luò )法能使型線(xiàn)求解的數學(xué)邏輯清晰明了，但對于復雜組成齒曲線(xiàn)，解析包絡(luò )法在求解時(shí)往往生成冗長(cháng)繁雜的表達式，使得求解過(guò)程極易出錯；齒廓法線(xiàn)法則具有更明解的物理意義，尤其是在解析包絡(luò )法不便求解的場(chǎng)合，使用齒廓法線(xiàn)法可使得型線(xiàn)設計過(guò)程更直觀(guān)簡(jiǎn)便。但齒廓法線(xiàn)法不適應于齒型參數偏導數為不存在的場(chǎng)合，如“點(diǎn)—擺線(xiàn)”曲線(xiàn)組的設計，因而在型線(xiàn)設計過(guò)程中，可根據需要靈活選擇兩種設計方法。
本文以GHH型線(xiàn)為例，詳細介紹了型線(xiàn)設計的過(guò)程，即對兩種型線(xiàn)設計方法進(jìn)行了驗證，又揭示了GHH型線(xiàn)的設計特點(diǎn)，為后續開(kāi)發(fā)高效型線(xiàn)提供參考。
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